T- R периодограмен анализ
Борис Комитов
Съществуват голям брой числени процедури, за които се счита, че са
подходящи за разкриването на цикли във временните редове- линеен
автокорелационен анализ, различни модификации на спектралния анализ, методът на
максималната ентропия и др. Всички те обаче имат различни недостатъци, които ги
правят неефиктивни когато става въпрос за изследване на временни редове от
хелиофизични, геофизични, биомедицински или икономически данни. В най-общ план
тези недостатъци са следните:
1. Слаба информативност в областта на ниските честоти /големите периоди/.
Процедурите, основани на ползуването на Фуриеров ред се обвързват с периоди,
които са кратни на дължината N на изследвания временен ред / N, N/2, N/3, N/4
......./. Това означава, че ако реално присъствуващите във временния ред дълги
цикли се различават съществено от периодите на съответните хармоници те могат
да бъдат 'пропуснати' или установени твърде неточно.
2. Липсата на статистически критерий за достоверност на амплитудите на
установяваните цикли. Амплитудата, като мощностна характеристика на даден
хармоник в много случаи не гарантира , че съответният цикъл е статистически
достоверен.
3. Някои от най-често използуваните методи /напр. линейният автокорелационен
анализ/работят само с целочислени стойности на периодите/.
4. Резултатите се ползуват трудно за целите на прогнозирането, а често пъти
това е и невъзможно.
В настоящата работа за разкриването на цикли се използува процедура, в която
посочените по-горе недостатъци са преодоляни в много голяма степен. За пръв път
тя е описана накратко и приложена в [1]. За тази процедура е възприето
названието 'T-R периодограмен анализ' [2]. Тя включва следните работни етапи :
1. Изследваният временен ред се апроксимира по метода на най-малките квадрати /
МНМК / със серия от прости периодични функции от вида
където a, коефициентите А и В се намират от решаването на системата
В случая е положено, че yi=f(ti),t=i-1=0,1,2...
Периодът T варира от избрана начална до някаква максимална стойност със стъпка
T . Пределната минимална стойност на T е 2 . Тъй като се разглежда временен ред
с равноотстоящи по време стойности, то е твърде удобно да се използува за единица
време интервалът от време между две съседни стойности /напр. година, ако
данните представляват средногодишни стойности на изследваната величина/. От
своя страна T може да приема както целочислени , така и дробни стойности ,
изразени във възприетата единица за време /стъпка на временния ред/.
2. За всяка една от намерените прости периодични функции се изчислява
коефициентът на линейна корелация R между нея и временния ред, и грешката на
същия
където N е дължината на
временния ред. Получената последователност от стойности на R / T-R корелограма/
има локални максимуми, около тези стойности на периода Т, които съответствуват
на потециалните цикли, присъствуващи в изследвания временен ред. Амплитудата /
мощността/ на цикъла може да се изчисли по формулата:
3. Проверява се за статистическата достоверност на намерените цикли. За целта
се използуват два критерия. Според първия от тях /сигма-тест/ коефициентът на
корелация трябва да отговаря на условието R/SR>1.96. Твърде често обаче в
редиците от псевдослучайни числа, възникват слаби цикли, удовлетворяващи този
критерий, които при това много добре личат след прилагането на процедура на пълзящо
усредняване. Вторият, по-твърд критерий е установен емпирично, на базата на
анализа на базата на повече от 1000 редици от псевдослучайни числа. В
съответствие с него, ако
коефициентът на корелация
отговаря на условието , то установената околомаксимумна стойност на R e
нетипична за редиците от случайни числа. В този случай цикълът не е случайно
възникнал , а е реален и причинно обусловен. Ако локалният максимум на R попада
между праговите граници на двата критерия, то въпросът за това дали намереният
слаб цикъл е реален или не, следва да е решава по преценка на изследователя на
базата на допълнителна информация.
Като критерий за общата мощност на цикличните колебания в дадена област с граници
T1 и T2 може да се използува величината:
С помощта на статистически достоверните цикли от T-R -корелограмата може да се
построи регресионен тригонометричен полином
Aj и Bj става по МНМК, като левите страни на уравненията на съответната система
са същите както в (*), но вместо един период T, се задават m на брой такива.
Последният се избира по преценка на изследователя и би могъл да бъде от 1, ако
е включен само доминиращ цикъл, за който R удовлетворява изискването на F-теста
за k1=N - 1 и k2= 2m степени на свобода, до всички достоверни цикли от T - R
корелограмата, за които R/SR >1.96. Схемата на работа и подобна на тази при
многофакторния регресионен анализ. Моментите t приемат за стойности номерата на
съответните числени данни във временния ред, т.е. 0,1 , 2 .........
С получения по този начин тригонометричен регресионен полином може успешно да
се прави и екстраполация на стойностите на временния ред, т.е. може да се
използува за прогнозиране.
Съответната статия с идентично съдържание е публикувана в "Хронобиология и биометеорология в българската медицина", изд. Макрос 2000, Пловдив, 2000г, стр.30-31